Équation diophantienne 144x - 169y = 2 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation \((E) \colon 144x-169y=2\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(169\) et \(144\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 169&144&1&25\\ \hline 144&25&5&19\\ \hline 25&19&1&6\\ \hline 19&6&3&1\\ \hline 6&3&2&0\\ \hline \end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times (-23) \\ \times 4 \\ \times (-3) \\ \times 1 \\ \ \end{array}\end{align*}\)  
On a donc \(\mathrm{PGCD}(144;169)=1\) , et comme \(1\) divise \(2\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
\(\begin{align*}169 \times (-23)+144 \times 4=144 \times 1 \times (-23)+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 144 \times 27+169 \times (-23)=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 144 \times 54+169 \times (-46)=2 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 144 \times 54-169 \times 46=2 \end{align*}\)  donc \((x_0;y_0)=(54;46)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
On a  \(\begin{align*}144x-169y=144 \times 54-169 \times 46& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 144(x-54)=169(y-46)\end{align*}\) . 
On en déduit que \(144\) divise \(169(y-46)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(144;169)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(144\) divise \(y-46\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}y-46=144k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=144k+46\end{align*}\) .
On a alors
\(\begin{align*}144(x-54)=169(y-46)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 144(x-54)=169 \times 144k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x-54=169k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=169k+54.\end{align*}\)    
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(169k+54;144k+46)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(169k+54;144k+46)\) .
On a
\(\begin{align*}144x-169y& = 144(169k+54)-169(144k+46)= 144 \times 54-169 \times 46= 2\end{align*}\)  
donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(169k+54;144k+46) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .